小学数学剩余定理教案

1.什么是剩余定理,即余数定理,又叫孙子定理不要抄,用数学文字表达

先提醒大家过去曾经有过的一个经验. 如果整数a除以整数b所得余数是1,那么,整数a的2倍、3倍、4倍、……、(b-1)倍除以整数b所得的余数就分别是 1*2=2, 1*3=3, 1*4=4, ………… 1*(b-1)=b-1. 例如,15÷7=2……余1,即 2*15÷7=4……余2, 3*15÷7=6……余3, 4*15÷7=8……余4, 5*15÷7=10……余5, 6*15÷7=12……余6. 还请大家注意一条经验. 从某数a中连续减去若干个b后,求所得的要求小于数b的差数,实际上就是求数a除以数b所得的余数. 例如,从758里连续减去若干个105后,求所得的要求小于105的差数,实际上就是求758除以105所得的余数.即 758÷105=7……余23. 下面我们就来研究“孙子问题”. 在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合这个条件的最小数.”这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”. 实际上,上面的问题我们可以这样来想: 分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表:我们在第一组数中选出合乎“除以7余2”的较小数——30;在第二组数中选出合乎“除以5余3”的较小数——63;在第三组数中选出合乎“除以3余2”的较小数——35.根据和的整除性,可知30+63+35=128一定是一个同时合乎“被3除余2,被5除余3,被7除余2”的数(为什么?),但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数,只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍,使得差数小于这个最小公倍数就是了.3、5、7的最小公倍数是3*5*7=105,因此,由于前面的经验二,可知 128÷105=1……余23.这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.有意义的是,虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的,但他的解法更具有一般性.亲爱的读者,你能猜想到孙子的一般解法吗?【规律】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合这个条件的最小数.孙子的解法是:先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即 15÷7=2……余1, 21÷5=4……余1, 70÷3=23……余1.再用找到的三个较小数分别乘以被7、5、3除所得的余数的积连加, 15*2+21*3+70*2=233.最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数. 233÷105=2……余23,这个余数23就是合乎条件的最小数.以上三个步骤适合于解类似“孙子问题”的所有问题.【练习】1.韩信点兵:有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成七行纵队,则末行四人,成十一行纵队,则末行十人.求兵数.2.有一堆棋子,三个三个地数剩下2个,五个五个地数剩下4个,七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个?(用两种方法解)3.某数除以7余3,除以8余4,除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.4.某数除以5余2,除以7余4,除以11余8.求适合条件的最小数.5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个,三个三个地数剩下1个,五个五个地数剩下3个,七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个?。

2.求数学高手解剩余定理

5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 ……这些公倍数中,被7除余1的数是 2259 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252……这其中,被5除余2的是 2525 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、……其中被9除余5的数是 140把以上 225 252 140 三个数相加,求得225 + 252 + 140 = 6175 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315617-315 = 302因此 302 就是这个年级至少人数。

===========================关于剩余定理:韩信点兵 作者:jianhao 汉高祖刘邦曾问大将韩信:“你看我能带多少兵?”韩信斜了刘邦一眼说:“你顶多能带十万兵吧!”汉高祖心中有三分不悦,心想:你竟敢小看我!“那你呢?”韩信傲气十足地说:“我呀,当然是多多益善啰!”刘邦心中又添了三分不高兴,勉强说:“将军如此大才,我很佩服。现在,我有一个小小的问题向将军请教,凭将军的大才,答起来一定不费吹灰之力的。”

韩信满不在乎地说:“可以可以。”刘邦狡黠地一笑,传令叫来一小队士兵隔墙站队,刘邦发令:“每三人站成一排。”

队站好后,小队长进来报告:“最后一排只有二人。”“刘邦又传令:“每五人站成一排。”

小队长报告:“最后一排只有三人。”刘邦再传令:“每七人站成一排。”

小队长报告:“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信:“敢问将军,这队士兵有多少人?”韩信脱口而出:“二十三人。”

刘邦大惊,心中的不快已增至十分,心想:“此人本事太大,我得想法找个岔子把他杀掉,免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句,并问:“你是怎样算的?”韩信说:“臣幼得黄石公传授《孙子算经》,这孙子乃鬼谷子的弟子,算经中载有此题之算法,口诀是: 三人同行七十稀, 五树梅花开一枝, 七子团圆正月半, 除百零五便得知。”

刘邦出的这道题,可用现代语言这样表述: “一个正整数,被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过100,求这个数。” 《孙子算经》中给出这类问题的解法:“三三数之剩二,则置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之得二百三十三,以二百一十减之,即得。

凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五,一百六以上,以一百五减之,即得。”用现代语言说明这个解法就是: 首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70,被3与7整除而被5除余1的数21,被3与5整除而被7除余1的数15。

所求数被3除余2,则取数70*2=140,140是被5与7整除而被3除余2的数。 所求数被5除余3,则取数21*3=63,63是被3与7整除而被5除余3的数。

所求数被7除余2,则取数15*2=30,30是被3与5整除而被7除余2的数。 又,140+63+30=233,由于63与30都能被3整除,故233与140这两数被3除的余数相同,都是余2,同理233与63这两数被5除的余数相同,都是3,233与30被7除的余数相同,都是2。

所以233是满足题目要求的一个数。 而3、5、7的最小公倍数是105,故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变,从而所得的数都能满足题目的要求。

由于所求仅是一小队士兵的人数,这意味着人数不超过100,所以用233减去105的2倍得23即是所求。 这个算法在我国有许多名称,如“韩信点兵”,“鬼谷算”,“隔墙算”,“剪管术”,“神奇妙算”等等,题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。

一般认为这是三国或晋时的著作,比刘邦生活的年代要晚近五百年,算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》,诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广,并把解法称之为“大衍求一术”,这个解法传到西方后,被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

而韩信,则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。 请你试一试,用刚才的方法解下面这题: 一个数在200与400之间,它被3除余2,被7除余3,被8除余5,求该数。

(解:112*2+120*3+105*5+168k,取k=-5得该数为269。)。

3.求全面正确的人教版小学数学公式定理 、小学各年级数学教案

周长公式: 长方形周长=(长+宽)*2 C=2(a+b) 正方形周长=边长*4 C=4a 圆的周长=圆周率*直径 C= πd C=2πr 半圆的周长=圆周长的一半+直径 C=πr+d面积公式: 长方形面积=长*宽 S=ab 正方形面积=边长*边长 S=a2 平行四边形面积=底*高 S=ah 三角形面积=底*高÷2 S=ah÷2 三角形高=面积*2÷底 h=s2÷a 三角形底=面积*2÷高 b=s2÷h 梯形面积=(上底+下底)*高÷2 S=(a+b)÷2 梯形的高=面积*2÷(上底+下底) h=s*2÷(+b) 梯形的(上底+下底)=面积*2÷高 (a+b)=s*2÷h 梯形的(上底+下底)=面积*2÷高-下底 a=s*2÷h-b 圆的面积=圆周率*半径的平方 S=πr2 圆柱的侧面积=底面周长*高 S=ch表面积公式: 长方形表面积=(长宽+长高+宽高)2 S=(ab+ah+bh)*2 正方体表面积=边长*边长*6 S=6a2 圆柱体侧面积=底面周长*高 S=ch 圆柱体表面积=侧面积+底面积*2 S=s侧+2s底体积公式: 长方体体积=长*宽*高 V=abh 正方体体积=棱长*棱长*棱长 V=a3 圆柱体体积=底面积*高 V=sh (将近似长方体平方得到: 圆柱体体积=侧面积的一半*半径 V=ch÷2*r=2πr÷2*r 圆锥体体积=底面积*高÷3 V=sh÷3或1/3关系式: 分数应用题: 单住“1”的量*分率(百分率)=对应量 已知量÷对应分率(百分率)=单位“1”的量 比较量÷单位“1”的量=分率(百分率) 工程问题: 工作效率*工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 相遇问题: 速度和*相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 归一问题: 单一量*数量=总量 总量÷单一量=数量 总量÷数量=单一量比例尺: 图上距离:实际距离=比例尺 图上距离=实际距离*比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺平均数: 总数÷总份数=平均数正比例关系: y=k(一定) 反比例:xy=k(一定)一般运算规则:(1)加数+加数=和(2)一个加数=和-另一个加数 和-一个加数=另一个加数(3)被减数-减数=差(4)减数=被减数-差(5)被减数=减数+差(6)因数*因数=积(7)一个因数=积÷另一个因数(8)被除数÷除数=商(9)除数=被除数÷商(10)被除数=商*除数(11)有余数的除法:被除数=商*除数+余数(12)每份数*份数=总数(13)总数÷每份数=份数(14)总数÷份数=每份数(15)1倍数*倍数=几倍数(16)几倍数÷1倍数=倍数(17)几倍数÷倍数=1倍数(18)速度*时间=路程(19)路程÷时间=速度(20)路程÷速度=时间(21)单价*数量=总量(22)总价÷单价=数量(23)总价÷数量=单价 单 位 换 算长度单位 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米面积单位 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米体(溶)积单位 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升重量单位 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 1公斤=2市斤 1斤=500克人民币换直 1元=10角 1角=10分 1元=100分时间换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有1/3/5/7/8/10/12月 小月(30天)有4/6/9/11月 平年2月28天,润年2月29天 平均全年365天,润年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒数 学 定 义 、定 理1、加法交换律: 两数相加交换加数的位置.和不变.2、加法结合律: 三个数相加.先把前两个数相加.或先把后两个数相加,再同第三个数相加.和不变.3、乘法交换律: 两数相乘,交换因数的位置.积不变.4、乘法结合律 三个数相乘先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.5、乘法分配律 两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这处数相乘,再把两个积相加,结果不变. 如:(2+4)*5=2*5+4*56、除法的性质 在除法里被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数.商不变.0除以任何不是0的数都得0.7、等式 等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式. 等式的基本性质: 等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立.8、方程式 含的未知数的等式叫方程式9、一元一次方程式 含有一个未知数.并且未数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式.10、分数把单位”1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数.11、分数的加、减法则 同分线母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。

异分母的分数相加减,先通分然后再加减。12、分数大小的比较 同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。

异分母的分数相比较,先通分然后再比较。若分子相同,分母大的反而小。

13、分数乘整数 用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。14、分数乘分数 用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。

15分数除以整数(0除外) 等于分数乘以这个整数的倒数。16、真分数 分子比分母小的数叫做真分数。

17、假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数,假分数大于或等于1。18、带分数 把假分数写成整数和真分数的形式叫做带分数。

19、分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。20、一个数除以分数,等于这个数乘以。

4.孙子剩余定理

就是解同余方程的方法.

比如:

一个数:

除以3余2

除以5余3

除以7余2

那么

这个数就是:

70*2+3*21+2*15

当然为了求最小的,你再除以105,就得到23了.

清楚了吗?

70,21,15都是诗中给出的数.

2,3,2是余数,如果余X,Y,Z

就是70X+21Y+15Z

其中,70是整除,5,7,除以3余1的数.

21是整除,3,7,除以5余1的数

15是整除,5,3,除以7余1的数

明白了吗?

还有,这首诗仅仅只是针对3,5,7求同余方程的.如果你追加30分,我给你一个完整的求同余方程的方法给你.发到这里或者给你发信息,绝对不食言.

补充:解同余方程的方法

首先看两元的情况.

q1,q2为素数,

x=a mod(q1)

x=b mod(q2)

这比较简单,你试b,b+q2,b+2*q2,。b+q2*(q1-1)

看看里面哪一个除以q1余a就可以了.

考虑同余方程:

q1,q2,。,qn

x=a1 mod(q1)

x=a2 mod(q2)

x=an mod(qn)

at first

try to solve:

y1=1 mod (q1)

y1=0 mod (q2*q3*。*qn)

y2=1 mod (q2)

y2=0 mod (q1*q3。.*qn)

yn=1 mod (qn)

yn=0 mod (q1*q2。*qn-1)

then:

x=a1*y1+a2*y2+。+an*yn

现在假设你懂怎么求

5.中国剩余定理最简洁的数学语言

用什么编程软件都可以编程.只要明白了剩余定理的原理,再针对问题,选择自己擅长的编程语言就可以了. 中国剩余定理一般指孙子定理:孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。

是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。

问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。

21n+2除以5余3,要求21n除以5余1。 21n除以5余1,21除以5余1,要求n除以5余1(乘数之余等于余数之乘),则n最小取1。

所以满足“除以3余2,除以5余3,除以7余2”的最小的数是21*1+2=23。标准解法:先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算 )。

即 15÷7=2……余1, 21÷5=4……余1, 70÷3=23……余1. 再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加, 15*2+21*3+70*2=233. (将233处用i代替,用程序可以求出) 最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数. 233÷105=2……余23,这个余数23就是合乎条件的最小数. 针对这个问题,用计算机来解决,可以用最简单的穷举法,下面上C语言代码 #include int main(){ int a=3,b=5,c=7; int i=7,flag=1; while(flag) { i++; if(i%7==2 && i%5==3 && i%3==2) //满足条件即输出,并设置退出循环标志 { printf("所求最小值为%d\n",i); flag =0; } } return 0;}。

6.中国剩余定理最简洁的数学语言

用什么编程软件都可以编程.只要明白了剩余定理的原理,再针对问题,选择自己擅长的编程语言就可以了. 中国剩余定理一般指孙子定理:孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。

是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。

问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。

21n+2除以5余3,要求21n除以5余1。 21n除以5余1,21除以5余1,要求n除以5余1(乘数之余等于余数之乘),则n最小取1。

所以满足“除以3余2,除以5余3,除以7余2”的最小的数是21*1+2=23。标准解法:先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算 )。

即 15÷7=2……余1, 21÷5=4……余1, 70÷3=23……余1. 再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加, 15*2+21*3+70*2=233. (将233处用i代替,用程序可以求出) 最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数. 233÷105=2……余23,这个余数23就是合乎条件的最小数. 针对这个问题,用计算机来解决,可以用最简单的穷举法,下面上C语言代码 #include int main(){ int a=3,b=5,c=7; int i=7,flag=1; while(flag) { i++; if(i%7==2 && i%5==3 && i%3==2) //满足条件即输出,并设置退出循环标志 { printf("所求最小值为%d\n",i); flag =0; } } return 0;}。

7.求北京版小学数学二年级下册探索规律教案及教学思路

有余数除法课题:有余数除法 教学目标 1.使学生初步理解有余数除法的意义,掌握有余数除法的计算方法. 2.使学生掌握试商的方法,懂得余数要比除数小的道理. 3.培养学生初步的观察、概括能力. 教学重点 初步建立余数概念及掌握有余数除法的计算方法. 教学难点 有余数除法的试商. 教具和学具 实物图及投影片,11根小棒. 教学过程 一、复习准备. 1.用竖式计算(两人板演) 8÷4= 36÷9= 订正时,由学生说一说计算过程. 2.卡片口算(与板演同时进行) ( )里最大能填几? 3*( ) ( )*2 二、学习新课. 教师谈话:大家学会了除法竖式的写法,今天我们继续学习笔算除法.同学们看一看,今天学的笔算除法与以前有什么不同. 1.教学例1. (1)出示例1的第一幅图. 提问:这幅图是什么意思?(把6个梨平均放在3个盘里,每盘放几个?) 学生动手操作.用6个圆片代替梨,平均分成3份,每份是多少?再把横式和竖式写在练习本上,并指名板演. 订正时,提问: ① 在被除数下面写6,表示什么?(表示分掉6个梨) ② 在横线下面为什么写0?(表示分完了,没有剩余) (2)出示第二幅图. 提问:如果有7个梨,平均放在3个盘里,怎样分?分分看. 学生动手操作,用圆片代替梨.(教师行间指导) 提问: ① 出现了什么情况?(每盘放2个,还剩1个) ② 剩下的1个梨,还能再继续分吗?(剩下的1个梨,不能再分)教师说明:7个梨,平均放在3个盘里,分的结果是“每盘2个,还剩1个”.怎样列式计算呢?(7÷3= ) 怎样写竖式呢?被除数是几,写在什么地方?刚才分的结果是每盘放几个?那么商是几?写在什么地方?(学生边回答,教师边板书) 教师着重提问:有3盘,每盘放2个,实际分掉几个梨?(6个)那么被除数7下面应该写几?(6)7个梨,分掉6个梨,有没有剩余?(有剩余,剩1个梨) 教师说明:7个减去分掉的6个,还剩1个.所以在横线下面写“1”.剩下的这1个,我们就叫它“余数”.(板书余数) 怎样在横式上写计算结果呢?每盘放2个梨就是商2,先写2.还余1个,就是余数为1.为了分清商和余数,在商的后面先写“……”,再写“1”.即7÷3=2……1 读作:“商2余1”.学生齐读一遍. (3)教师引导学生比较例1的两道题. 提问:这两道题平均分的结果有什么相同和不同?(相同:每盘都放2个.不同:第1小题正好分完,第2小题还剩1个,不能正好分完) 教师说明:像第2小题这种除法,没有分完,还有余数,叫做有余数除法.(板书课题) (4)练一练: 每个同学拿出11根小棒,平均分成4份,每份几根,还剩几根?先摆一摆,再把下面的竖式写完整. 订正时,教师着重提问: (1)商2后,被除数下面要减去几? (2)8是怎样计算出来的?表示什么? (3)横线下面写什么?表示什么? (4)这题的结果该怎样说? 2.教学例2 (1)在竖式里,38和5各写在什么地方? (2)怎样想商几?在乘法口诀里有没有一句是五几三十八? 相邻两位同学互相讨论怎样想商几,再在全班交流. ① 有的同学可能说商6,教师板书: 还剩下8,8里还有一个5呢?说明商6小了. ② 有的同学可能说商8,教师板书: 38减40不够减,说明商大了. ③ 商6小,商8大,所以商7合适.最后结果是商7余5. 想:5和几相乘的积接近38,而且小于38?即5*() (3)练一练:14÷4=□……□ 想:4和几相乘的积接近14,又比14小. 订正时,让学生说一说怎样想商,最后的结果怎样说. (4)引导学生观察:上面三道有余数除法,把每题的余数和除数进行比较,你发现了什么?(余数都比除数小) 如果余数比除数大了,说明了什么?(说明商小了,商再大一些) 什么情况下,说明商大了?(被除数不够减去除数和商相乘的积时,说明商大了) (4)小结:计算有余数除法,余数要比除数小. 三、巩固反馈. 1.基本练习. (1)口述计算过程. (2)用竖式计算下面各题. 27÷5= 38÷6= 47÷9= 全班动笔练习,指名两学生在投影片上做,便于订正.订正时,由学生说一说计算过程,着重检查余数的大小和别忘在横线上写余数. 2.发展性练习. 下面的计算对吗?把不对的改正过来. 3.思考性练习. 在方框里填合适的数.这不完整你去这个网址。

小学数学剩余定理教案

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小学一级上期品德教案

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小学数学小蜜蜂的举例教案

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小学校风班会教案

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小学心肺复苏教程教案

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小学学农基地土地整理教案

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小学语文二级阳光教案

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小学语文到期归还教案

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小学体育教案猜领头人

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小学语文六级说明文教案

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苏少版小学音乐教案六级上

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踢毽子小学生教案

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2013版pep小学英语四级下册教案

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部编版小学一级数学教案

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辽师大小学品社四下教案

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